Najmniejsza wspólna wielokrotność – jak obliczyć NWW dwóch liczb naturalnych
Obliczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (NWW) za pomocą rozkładu na czynniki pierwsze polega na rozłożeniu każdej z liczb na czynniki pierwsze, a następnie wykorzystaniu tych czynników do skonstruowania NWW. Liczba pierwsza to liczba większa od 1, która ma dokładnie dwa dzielniki: jedynkę i siebie samą. Są to np.: 2, 3, 5, 7, 11, itd.
Jak wykonać krok po kroku ten proces:
- Należy rozłożyć obie liczby na iloczyn czynników pierwszych.
- Dla każdego czynnika pierwszego trzeba sprawdzić, w którym rozkładzie wystąpił większą liczbę razy i wypisać go taką liczbę razy.
- Należy wymnożyć wszystkie wypisane liczby, otrzymując w rezultacie szukaną NWW.
Przykład. Oblicz NWW dla liczb 54 i 76.
Rozwiązanie:
Rozkładamy obie liczby na iloczyn czynników pierwszych:
54 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3,
76 = 2 ⋅ 2 ⋅ 19.
Sprawdzamy, ile razy wystąpiły poszczególne liczby pierwsze w każdym z rozkładów:
- Liczba 2 wystąpiła raz w I rozkładzie i dwa razy w II rozkładzie – wypisujemy ją dwa razy.
- Liczba 3 wystąpiła trzy razy w I rozkładzie i ani razu w II rozkładzie – wypisujemy ją trzy razy.
- Liczba 19 nie wystąpiła w I rozkładzie i wystąpiła raz w II rozkładzie – wypisujemy ją jeden raz.
Nasze wypisane kolejno liczby to: 2, 2, 3, 3, 3, 19.
Czyli najmniejszą wspólną wielokrotność obliczamy poprzez wyliczenie ich iloczynu:
NWW(54,76) = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 19 = 2052
Obliczanie NWW małych liczb – przykład
Przykład 1. Wyznacz wspólną wielokrotność liczb 2 i 3.
Rozwiązanie:
Szukamy liczby, którą można podzielić bez reszty przez 2 oraz bez reszty przez 3. Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 2 i 3 jest 6. Z kolei wielokrotnościami liczb 2 i 3, poza 6, są: 12, 18, 24, 30, 60, 300 i tak dalej.
Przykład 2. Wyznacz NWW liczb 6 i 8.
Rozwiązanie:
- Wielokrotności liczby 6 to: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, itd.
- Wielokrotności liczby 8 to: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, itd.
Zatem najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 6 i 8 jest liczba 24, ponieważ to najmniejsza liczba, która dzieli się przez 6 i 8 bez reszty.
NWW(6,8)=24
W przypadku małych liczb, najmniejszą wspólną wielokrotność można znaleźć wypisując wielokrotności podanych liczb. Dla dużych liczb znajdowanie NWW tą metodą byłoby bardzo czasochłonne, więc w takim przypadku należy skorzystać z metody podanej wyżej (z użyciem rozkładu na czynniki pierwsze).
Obliczanie NWW przy pomocy NWD (największy wspólny dzielnik)
Przykład. Wyznacz NWW liczb 12 i 18.
Krok 1. Obliczenie NWD liczb 12 i 18.
Największym wspólnym dzielnikiem (czyli największą liczbą, przez którą dzielą się zarówno 12, jak i 18 – bez reszty) tych liczb jest 6, więc zapisujemy, że NWD (12, 18)=6.
Krok 2. Korzystamy ze wzoru na NWW:
Krok 3. Podstawiamy do wzoru i obliczamy. Wychodzi nam, że NWW(12,18)=36.
NWW – najmniejsza wspólna wielokrotność, podsumowanie
NWW, czyli najmniejsza wspólna wielokrotność, to pojęcie z dziedziny matematyki, które odnosi się do najmniejszej liczby, która jest wielokrotnością dwóch lub więcej liczb całkowitych. Oto kilka kluczowych informacji na temat NWW:
Obliczanie NWW:
- można wykonać „ręcznie”, czyli wypisywać kolejne wielokrotności liczb naturalnych, a następnie wyodrębnić wspólną;
- można obliczyć za pomocą rozkładu liczb na czynniki pierwsze;
- obliczenie za pomocą największego wspólnego dzielnika.
Właściwości NWW:
-
NWW zawsze jest liczbą nieujemną.
Zastosowanie NWW:
-
najmniejsza wspólna wielokrotność jest używana w trudniejszych zadaniach matematycznych.
