Wzór na pole koła

Co to jest koło?

Najprościej mówiąc – koło to figura posiadająca jedną krawędź i nieposiadająca kątów, w której odległość od środka do brzegu w każdym jego punkcie jest taka sama.

Koło jest to zbiór punktów płaszczyzny, których odległość, jaka dzieli środek koła, czyli pewien ustalony punkt na płaszczyźnie, jest mniejsza lub równa promieniowi koła (pewna zdefiniowana odległość na tej płaszczyźnie).

Koło ma środek, średnicę, promień oraz pole powierzchni. Obwód koła jest w rzeczywistości długością jego okręgu, okrąg zaś jest jego brzegiem.

Czym się różni okrąg od koła?

Uczniowie często mylą lub używają naprzemiennie określeń koła i okręgu. Tymczasem jest między nimi zasadnicza różnica! Najprościej mówiąc, okrąg jest brzegiem koła, pustym w środku, koło zaś jest figurą geometryczną, która posiada wypełnienie. Można sobie to zobrazować – okrąg jest jak hula hop, obrączka czy bransoletka, zaś koło to pizza.

Czym jest promień koła?

Aby obliczyć pole koła, potrzebne są określone wartości. Jednym z nich jest promień koła. Co to takiego? Promień koła to odległość od środka koła do jego brzegu. Niezależnie od tego, który punkt brzegu koła połączymy z jego środkiem, promień jest zawsze taki sam. Słowem – jest to linia łącząca środek koła z dowolnym punktem na jego brzegu, odległość między środkiem okręgu koła a jego brzegiem.

Długość promienia jest równa połowie długości średnicy. Przykładowo, jeśli średnica koła wynosi 12 cm, jego promień będzie wynosił 6 cm.

We wzorach matematycznych promień koła oznacza się literką r (od radius).

Co to jest średnica koła?

A czym jest średnica koła? Jest to odległość łącząca dwa punkty na brzegu koła lub okręgu, przechodzące przez jego środek. Inaczej, jest to najdłuższa cięciwa, przecinająca środek koła lub okręgu.

Długość średnicy jest równa podwójnej długości promienia. Przykładowo, jeśli promień koła wynosi 5 cm, jego średnica będzie równa 10 cm.

Średnicę koła oznaczamy literką d (od diameter).

Co to jest cięciwa koła?

Jest jeszcze cięciwa koła. To odcinek, którego oba końce leżą na okręgu, ale nie muszą przechodzić przez środek. Inaczej mówiąc, jest to linia prosta, łącząca dwa punkty na okręgu. Cięciwy mają różne długości. Największą cięciwą koła jest jego średnica.

Jak obliczyć pole powierzchni koła?

Wiadomo już, że średnica koła to d = 2r, zaś promień r = d/2. A czym jest pole koła? Pole koła to przestrzeń, którą zajmuje koło, czyli okrąg wraz z wypełnieniem. Wzór na pole koła jest dość prosty. Potrzeba do niego stałej liczby Pi (π) oraz długości promienia koła, który należy podnieść do drugiej potęgi:

P = π⋅r²

Liczbą P oznaczamy pole koła.

Czym jest liczba Pi (π)?

We wzorze na pole koła, liczba Pi oznacza stosunek obwodu koła do jego średnicy. Liczba π jest stała i zawsze równia się w przybliżeniu 3,14.

Jak obliczyć pole koła, jeśli mamy podaną średnicę?

Oto przykładowe zadanie:

Oblicz pole koła, jeśli jego średnica wynosi X cm.

Jeśli wiadomo, że średnica koła wynosi X cm, z łatwością można obliczyć jego promień, niezbędny z kolei po to, by wyliczyć pole powierzchni koła. Wystarczy wykorzystać wzór na promień koła, czyli r=d/2, dzięki któremu uzyskamy długość promienia:

r = X/2

r = Y (wartość, jaka wyszła z podzielenia długości średnicy na dwie części)

Promień koła wynosi Y. Wówczas należy zapisać odpowiedni wzór, tym razem na pole koła:

P = π⋅Y²

P = pole koła

π = 3,14

r = Y

Wzór na pole koła z podanymi wartościami wygląda następująco:

P = π⋅Y²

P = 3,14 ⋅ Z (gdzie Z oznacza promień pomnożony przez promień)

Wynik podaje się w wartościach kwadratowych, czyli jeśli promień wynosi Z cm czy mm, to wynik podaje się w centymetrach lub milimetrach kwadratowych – cm² lub mm².

Jak obliczyć pole koła o średnicy 6?

A jak obliczyć pole koła na konkretnym przykładzie?

Zadanie może brzmieć: Jeśli średnica koła wynosi 6 cm, to ile wynosi jego pole? Lub też Oblicz pole koła o średnicy 6 cm.

Jeśli średnica koła to 6 cm, oznacza to, że promień, czyli pewna zdefiniowana odległość między środkiem a punktem na okręgu, wynosi dokładnie jego połowę, a więc 3. Czyli należy obliczyć pole koła o promieniu r równym 3 cm.

Wykorzystujemy wzór:

P = π⋅r²*

P = 3,14⋅3²

P=3,14⋅9

P= 28,26 (cm², mm²,dm² – w zależności od podanej w zadaniu jednostki miary).

Warto wiedzieć, że środek okręgu lub koła zaznacza się zazwyczaj literą s. Więc równie dobrze zadanie może brzmieć dość podchwytliwie i nie używać określenia promień, a raczej punkt, np. Oblicz pole koła o środku s odległym od brzegu o X cm lub np. Jeśli odległość od punktu s do brzegu koła wynosi X cm, to ile wynosi pole koła?

* czasem może być zapis r 2 zamiast r².

Wzór na obwód koła

Jeśli już mowa o kole, warto znać nie tylko wzór na jego pole, ale również na obwód koła. Jest on tym samym, co wzór na długość okręgu z wykorzystaniem promienia. Wygląda on następująco:

l = 2⋅π⋅r

l − obwód koła lub inaczej długość okręgu
π≈3,14 − stała liczba niewymierna
r − promień okręgu

Inaczej wzór można zapisać ze średnicą l = d ⋅ π, bo wartość dwóch promieni oznacza właśnie średnicę.

Obwód koła jest tym samym, co długość okręgu. Promień okręgu jest tożsamy z promieniem koła, podobnie jak z jego średnicą. Nie ma natomiast pola okręgu, ponieważ okrąg nie jest wypełniony. Okrąg jest kołem pustym w środku, zaś koło jest wypełnionym okręgiem.

Okrąg i koło mogą być również wpisane w różne inne figury. Mogą się znajdować np. w trójkącie równobocznym czy też w kwadracie. To już jednak nieco inna matematyka, do poznania na późniejszych etapach, po opanowaniu podstawowego wzoru na pole koła.