Pole trapezu – co to jest, wzór, jak obliczyć pole trapezu?

Trapez – co to za rodzaj figury geometrycznej?

Trapez to czworokąt, który posiada przynajmniej jedną parę boków równoległych. Boki równoległe w trapezie nazywamy podstawami, a pozostałe boki zwane są ramionami trapezu. Odcinek łączący podstawy nazywany jest z kolei wysokością trapezu.

Trapez dowolny, trapez prostokątny, trapez równoramienny

Wyróżnia się trzy rodzaje trapezów:

Trapez dowolny cechuje się tym, że każdy bok oraz przekątne są innej długości.

W trapezie prostokątnym przynajmniej jedno ramię trapezu jest prostopadłe do podstaw. Kąt wewnętrzny wynosi 90º. Ma dwa kąty proste i dwie różne przekątne. Prostokąt i kwadrat są trapezami prostokątnymi.

Trapez równoramienny ma dwa kąty równe przy podstawie i przekątne jednakowej długości. Ma też jedną oś symetrii. Suma kątów ostrego i rozwartego wynosi 180º.

Jaki jest wzór na trapez?

Aby wiedzieć, ile wynosi pole powierzchni trapezu, należy dodać do siebie długości jego podstaw, podzielić przez 2 (ponieważ są dwie podstawy), a następnie pomnożyć przez odległość między podstawami, czyli wysokość. Poszczególne wartości oznacza się w następujący sposób:

P = pole trapezu

a – dłuższa podstawa trapezu

b – krótsza podstawa trapezu

h – wysokość trapezu

c, d – ramiona trapezu (w przypadku trapezów równoramiennych podawana jest jedna litera)

Wysokość trapezu to odcinek, który łączy podstawy trapezu.

Trapezami są takie figury, jak wspomniane kwadrat i prostokąt, a także romb oraz równoległobok. Każda z tych figur jest trapezem, ale nie każdy trapez jest którąś z tych figur, tak, jak każdy kwadrat jest prostokątem, ale nie każdy prostokąt jest kwadratem.

Wyjątkowym przypadkiem trapezu jest prostokąt, który jest trapezem zarówno równoramiennym, jak i prostokątnym, ponieważ ma dwie pary boków równoległych i wszystkie kąty wewnętrzne proste

Wzór na pole trapezu

Wiadomo już, że pole trapezu jest równe połowie iloczynu sumy długości podstaw i wysokości. Do obliczenia pola trapezu potrzebny jest następujący wzór:

P = pole trapezu

P = ½ x (a + b) x h

a, b – oznacza długość podstaw,

h – wysokość trapezu

Jak obliczyć pole trapezu? Przykłady

Oto przykładowy wzór:

Dłuższa podstawa trapezu wynosi 9 cm, a krótsza podstawa 5 cm. Wysokość trapezu wynosi 7 cm. Oblicz pole trapezu.

Pod wzór P = ½ x (a + b) x h podstawiamy następujące dane:

P = ½ x (9 + 5) x 7

P = ½ x 14 x 7

P = 7 x 7

P = 49

Odpowiedź: pole trapezu wynosi 49 cm kwadratowych.

Pole trapezu. Wzór nr 2:

Obliczając pole trapezu, można korzystać także z następującego wzoru:

P= (a + b) x h : 2

Wówczas zadanie i rozwiązanie wyglądają tak:

Podstawy trapezy mają długości 5 i 9 cm, a wysokość wynosi 7cm. Oblicz pole trapezu.

P = (a + b) x h : 2

P = (9 + 5) x 7 : 2

P = 14 x 7 : 2

P = 98 : 2

P = 49.

Odpowiedź: Pole trapezu wynosi 49 cm kwadratowych.

Jak obliczyć obwód trapezu?

Obwód trapezu to nic innego, jak suma jego wszystkich boków. Stosuje się następujące oznaczenia:

• a – dłuższa podstawa trapezu
• b – krótsza podstawa trapezu
• c – długość ramienia trapezu (jedna litera w przypadku trapezu równoramiennego)
• d – długość ramienia trapezu (oznaczenie w przypadku trapezu dowolnego lub prostokątnego)

Wzór na obwód trapezu to

Obw. = a + b + 2c (przy trapezie równoramiennym)

lub

Obw. = a + b + c + d (przy trapezach dowolnym i prostokątnym, gdzie ramiona są różnej długości)

Jak obliczyć długość wysokości trapezu?

Zadanie matematyczne może brzmieć również tak: Oblicz długość wysokości trapezu, jeśli jego pole wynosi 48, a długości podstaw to 5 i 7 cm.

Dane możemy podstawić pod dowolny wzór na pole trapezu, najpierw przekształcając wzór:

P = (a + b) x h : 2 – przekształcamy wzór, aby wyliczyć h

P = (a+b) x h : 2 – obustronnie mnożymy x2, aby pozbyć się 2 z mianownika

2P = (a + b) x h – podobnie postępujemy z wyrażeniem (a+b)

2P : (a + b) = h – mając gotowy wzór podstawiamy dane

2 x 48 : (5 + 7) = h

96 : 12 = h

h = 8

Lub pod wzór podstawiamy dane:

P = ½ x (a + b) x h

P = ½ x (5 + 7) x h

48 = ½ x 12 x h

48 = 6 x h

h = 48 : 6

h = 8

Odpowiedź: Wysokość trapezu wynosi 8 cm.

Aby sprawdzić, czy wykonało się działanie poprawnie, można wprowadzić uzyskaną wysokość do wzoru na pole trapezu, nie podając wartości pola. Przykład:

P = (a + b) x h : 2

P = (5 + 7) x 8 : 2

P = 12 x 8 : 2

P = 96 : 2

P = 48

Już widać, że uzyskana wartość jest poprawna.

Przykładowe zadania na pole trapezu

Zadanie 1: Obwód trapezu równoramiennego wynosi 30 cm, każde ramię ma długość 7 cm, a wysokość ma długość 5 cm. Oblicz pole tego trapezu.

Jak widać, nie jest podana długość podstaw. Należy ją więc wyliczyć ze wzoru na obwód, podstawiając wiadome dane:

Obw. = a + b + 2c

30 = a + b + 2 x 7

30 = a + b + 14

a + b = 30 - 14

a + b = 16

Podstawiamy dane pod wzór na pole trapezu P = (a+b) x h : 2:

P = 16 x 5 : 2

P = 80 : 2

P = 40

Odpowiedź: Pole trapezu wynosi 40 cm kwadratowych.

Zadanie 2: W trapezie o wysokości 8 cm jedna z podstaw ma długość 10 cm, a druga jest od niej o 4 cm krótsza. Ile wynosi pole trapezu?

a = 10

b = 10 - 4 = 6

h = 8 cm

P = (a + b) x h : 2

P = (10 + 6) x 8 : 2

P = 16 x 8 : 2

P = 64

Odpowiedź: Pole trapezu wynosi 64 cm kwadratowe.

Pole trapezu – po co się tego uczyć?

Z pewnością wielu uczniów zastanawia się nad tym, czy wiedza o wzorze na pole trapezu jest w ogóle przydatna i czy w jakikolwiek sposób wykorzysta się ją w życiu codziennym.

Cóż, nie bez powodu mówi się, że matematyka to królowa nauk. Choć wiele definicji i wzorów wydaje się bezużytecznych i faktycznie nie korzysta się z nich codziennie, przychodzą chwile, kiedy objętości, pola czy umiejętność obliczenia wszelkich długości są niezbędne, by móc coś stworzyć, wybudować, uszyć, upiec, narysować czy zaprojektować. Nigdy nie wiadomo, kiedy przyda się coś więcej ponad proste dodawanie. Ponadto, nieznajomość podstawowych wzorów w szkole podstawowej znacznie utrudnia naukę na kolejnych szczeblach edukacji. Warto więc stworzyć sobie małą „ściągę”, na którą znajdą się wzory różnych figur, powiesić nad biurkiem i systematycznie je powtarzać.